《量子物理》课程总复习
此为《量子物理》课程的总复习，出于时间原因，还有量子隐形传态和量子计算两节没有涉及。
由于本人并非物理相关专业，加上才疏学浅，此提纲疏漏在所难免。
《量子物理》是科大物理通修课程「减负」改革后，信息、智能类专业的物理必修课四部曲之终章，它体现着科大数理基础特色，在科大学生界享有盛誉。
氢原子模型
- 氢原子的定态函数
- 轨道角动量和球谐函数
- 与 Bohr 原子轨道模型的区别
- 跃迁的选择定则
氢原子的波函数
通过求解氢原子的波函数方程，本征解的形式满足（\(R_{nl}(r)\) 和 \(Y_{lm}(\theta,\varphi)\) 的表达式需要涉及 Laguerre 和 Lagrange 多项式，但是 \(\Phi_m(\varphi)\) 表达式较为简单）：
\[
\begin{gathered}
\Psi_{nlm}(r, \theta, \varphi) = R_{nl}(r) \Theta_{lm}(\theta) \Phi_m(\varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \varphi) \\
\text{where}\quad \Phi_{m}(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}
\end{gathered}
\]
第二个等式将本征解分解为径向波函数和球谐函数两部分；这样的分解与 Bohr 原子模型建立了对应关系。
这样，我们可以用三元组 \((n, l, m)\) 来描述波函数的本征态，其中：
\[
n=1,2,3,\quad l=0,1,\cdots,n-1,\quad m=-l,-l+1,\cdots,l-1,l
\]
\(n\) 称为主量子数，与原子的能量相关：
\[
E_n = -\alpha^2 \frac{mc^2Z^2}{2n^2}
\]
\(l\) 和 \(m_l\) 两个量子数由 \(\hat{L}\) 和 \(\hat{L}_z\) 的引入可以得到：
\[
\begin{gathered}
\hat{L} = \hat{r} \times \left(-i\hbar\nabla\right) \\
\implies \hat{L}^2R(r)_{nl}Y_{lm_l} = l(l+1)\hbar R(r)_{nl}Y_{lm_l}\\
\hat{L}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial \varphi} \\
\implies \hat{L}_z\Phi_{m_l}(\varphi) = m_l \hbar \Phi_{m_l}(\varphi)
\end{gathered}
\]
可知 \(l\) 对应总角动量，而 \(m_l\) 对应 Z 方向的角动量，满足下式。由此可知，轨道角动量不能沿 \(Z\) 方向。
\[
\begin{gathered}
L = \sqrt{l(l+1)}\hbar \\
L_z = m\hbar,\quad m=-l,\cdots,0,\cdots,l
\end{gathered}
\]
角动量算符间满足类似 \([\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar \hat{L}_z\) 的对易关系，更形式化地：
\[
[\hat L_i, \hat L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk}\hat L_k, \quad
i, j, k = 1, 2, 3
\]
引入升降算符 \(\hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y\)，则升降算符满足对易关系：
\[
\begin{aligned}
[L_z, L_+] &= [L_z,L_x+iL_y] = [L_z, L_x] + i[L_z, L_y] \\
&= i\hbar L_y + \hbar L_x \\
&= \hbar(L_x + iL_y) = \hbar L_+ \\
[L_z, L_-] &= -\hbar L_-
\end{aligned}
\]
这样的升降算符可以用于 \(m\) 指标的增加或减少：
\[
\begin{gathered}
\hat{L}_z\hat{L}_\pm Y^m_l(\theta, \varphi)
= (m \pm 1) \hat{L}_\pm Y^m_l(\theta, \varphi) \\
\hat{L}_\pm \left| l,m \right\rangle = \left| l, m \pm 1 \right\rangle
\end{gathered}
\]
跃迁
\[
\Psi = C_i\left|i(t)\right\rangle+C_f\left|f(t)\right\rangle = C_i\left|i\right\rangle e^{-\frac{iE_nt}{\hbar}} + C_f\left|f\right\rangle e^{-\frac{iE_{n^\prime} t}{\hbar}}
\]
初态时 \(C_i=1,C_f=0\)，末态时 \(C_i=0,C_f=1\)，跃迁过程中，\(C_i,C_f\ne 0\)，计算交叉项，我们可以得到原子以 \(\nu = \frac{E_n - E_{n^\prime}}{\hbar}\) 的频率振荡
这个式子也可以导出跃迁的选择定则，即，电偶极矩不为 0：
\[
\begin{gathered}
p_0 = e\left\langle i\right|r\left|f \right\rangle \ne 0 \\
\implies \Delta m = m - m^\prime = 0,\pm 1,\quad \Delta l = l - l^\prime = \pm 1
\end{gathered}
\]
电子自旋
-
电子自旋的发现及性质
-
自旋轨道耦合
-
Dirac 记号
-
自旋波函数和 Pauli 矩阵
-
磁场下的自旋
-
交换对称性和核外电子填充
自旋假设
电子的轨道磁矩（由角动量产生）：
\[
\begin{aligned}
|\vec{\mu}| &= IA=\frac{e}{\tau}\cdot A =
\frac{ev}{2\pi r}\cdot \pi r ^2 = \frac{e}{2} |\vec{r}\times\vec{v}| \\
&= \frac{e}{2m_e}|\vec{r}\times m_e\vec{v}| = \frac{e}{2m_e}|\vec{L}| \\
\implies \vec{\mu} & = -\frac{e}{2m_e}\vec{L},
\quad \mu_l = -\mu_B \sqrt{l(l+1)},\quad \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e} \\
\implies \mu_{l,z} &= -\mu_Bm
\end{aligned}
\]
Zeeman 效应：磁场中，光谱线发生劈裂的现象，这是因为磁矩 \(\vec{\mu}\) 在均匀磁场中受到附加能量 \(-\vec{\mu_z}\cdot \vec B\)，可推出 \(\Delta E = \mu_BmB\)，由选择定则可计算谱线分裂条数；碱土金属的双线为反常 Zeeman 效应
通过 Zeeman 效应和 Stern-Gerlach 实验观察到的现象，我们可以发现电子具有内禀的磁矩，我们称为电子自旋：
\[
\begin{gathered}
S = \sqrt{s(s+1)}\hbar,\quad s=\frac12 \\ S_z = m_S\hbar,\quad m_S=\pm \frac12
\end{gathered}
\]
为了使轨道磁矩和自旋磁矩具有相同的形式，引入轨道 \(g\)-因子和自旋 \(g\)-因子：
\[
\begin{gathered}
\mu_l = -g_l \frac{\mu_B}{\hbar}\hat{L},
\quad \mu_S = -g_s\frac{\mu_B}{\hbar}\hat{S} \\
g_l = 1,\quad g_s = 2(1 + \alpha),~
\alpha \approx 1.5\times 10^3
\end{gathered}
\]
同样轨道磁矩和自旋磁矩的 Z 分量也可以写成类似形式：
\[
\mu_{l,z} = -g_l \mu_B m,\quad \mu_{S,z} = -g_s \mu_B m_S
\]
自旋轨道耦合
自旋轨道耦合能：自旋磁场和轨道磁场相互作用产生的附加能量
由于自旋轨道耦合的存在，\([\hat{H},L^2],[\hat{H},S^2]\ne 0\)，它们不再守恒，我们需要寻找新的守恒量 \(\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}\)，这样，\((n,l,j,m_j)\) 是好量子数：
\[
\begin{gathered}
J = \sqrt{j(j+1)} \hbar,\quad j=l+s,l+s-1,\cdots,|l-s| \\
J_z = m_j \hbar, \quad m_j = j, \cdots, -j
\end{gathered}
\]
多重态原子的符号表示：
\[
n^{2s+1}X_j
\]
-
\(X\) 由 \(l\) 确定，当 \(l=0,1,2,\cdots\) 时，\(X=S,P,D,\cdots\)
-
能级层数一般是 2，但 S 态是单层能级
Landé 因子
为了在 \((n,l,j,m_j)\) 的新表象下描述磁矩，我们需要引入 Landé \(g\)-因子，以下为推导过程：
\[
\vec{\mu} = \vec{\mu_l} + \vec{\mu_s} = -\frac{\mu_B}{\hbar}(g_l \vec{L} + g_szh\vec{S})
\]
在自旋轨道耦合下，\(\vec{L}\) 和 \(\vec{S}\) 均快速绕 \(\vec{J}\) 进动，按照 \(\vec{J}\) 的方向分解 \(\vec{\mu} = \vec{\mu}_\perp + \vec{\mu}_{\parallel}\)，有 \(\langle \vec{\mu_\perp}\rangle = 0\)，因此在弱磁场下，我们可以认为 \(\vec{\mu} = \vec{\mu}_{j}\)，我们想把最终的磁矩表示为以下形式：
\[
\begin{gathered}
\vec{\mu} = \vec{\mu}_j = -g_j \frac{\mu_B}{\hbar}\vec{J} \\
\begin{aligned}
\implies \vec{\mu}_j &= (\vec{\mu} \cdot \vec{J})\frac{\vec J}{J^2}
= (\vec{\mu}_l \cdot \vec J + \vec{\mu}_s + \vec J)\frac{\vec J}{J^2} \\
&= (-g_l \frac{\mu_B}{\hbar} \vec L \cdot \vec J - g_s
\frac{\mu_B}{\hbar} \vec S \cdot \vec J) \frac{\vec J}{J^2} \\
\implies g_j &= \frac{g_l\vec L \cdot \vec J + g_s
\vec S \cdot \vec J}{J^2} \\
&= 1 + \frac{j(j+1) + s(s+1) - l(l+1)}{2j(j+1)}
\end{aligned}
\end{gathered}
\]
最后一步的等号使用了 \(\vec J = \vec L + \vec S\) 的定义。
耦合能对能级的影响
Dirac 符号
Hilbert 空间中的态矢量可以用 Dirac 符号表示为 \(|\psi\rangle\)（可看作列向量），其对应的对偶态为 \(\langle\psi|\)（可看作行向量）；内积可以表示为 \(\langle\phi|\psi\rangle\)；
Hermite 算符：\(A^\dagger\) 是 \(A\) 的 Hermite 共轭，满足 \(\langle\phi|A|\psi\rangle = \langle\psi|A^\dagger|\phi\rangle^*\)；
自旋算符
由于自旋和角动量具有相似的代数结构，其满足和轨道角动量一样的对易关系：
\[
[\hat S_i, \hat S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat S_k,
\quad i, j, k = 1, 2, 3
\]
根据定义，有以下的关系式：
\[
\begin{gathered}
\hat S_z \left| \pm \right\rangle = \pm \frac \hbar 2 \left| \pm \right\rangle,
\quad \hat S_+ \left| + \right\rangle =
\hat S_- \left| - \right\rangle = 0 \\
\hat S_- \left| + \right\rangle = \hbar \left| - \right\rangle,
\quad \hat S_+ \left| - \right\rangle = \hbar \left| + \right\rangle \\
\end{gathered}
\]
引入 Pauli 算符 \(\hat S = \frac \hbar 2 \hat \sigma\)，我们可以得到在 \(\{\hat S^2, \hat S_z\}\) 的共同本征态构成的自旋表象下，Pauli 算符的矩阵形式：
\[
\hat \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\hat \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\hat \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
在外磁场下，考虑自旋磁矩的受力，此时电子的 Hamilton 量为：
\[
\begin{gathered}
\hat H = -\vec \mu_S \cdot \vec B = \frac e {m_e} \hat S
\cdot \vec B = \frac{e\hbar B}{2m_e}\vec{\sigma} \cdot
\vec{n} \triangleq \hbar \omega \sigma \cdot \vec n \\
\frac{i\hbar\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi
\implies \psi(t) = e^{-i\omega t \vec\sigma \cdot \vec n}\chi_i
\end{gathered}
\]
电子态可以写作一个旋转算符乘上初态的形式，这是 Larmor 进动。
双自旋系统
单重态与三重态（了解即可）：对于两个自旋的粒子，可以定义集体自旋算符：
\[
\begin{gathered}
\vec S = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 \\
\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat S_1 \cdot \hat S_2
\end{gathered}
\]
为了方便研究这种双自旋系统的性质，我们往往需要在耦合表象下研究，由耦合表象的本征值可以导出单重态和三重态：
\[
\begin{gathered}
\{ \hat S_1^2, \hat S_2^2, \hat S^2, \hat S_z \} \\
\begin{gathered}
\left |S=0, S_z=0 \right\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}}
(\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle
- \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle) \\
\left |S=1, S_z=1 \right\rangle &=&
\left| \uparrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \\
\left |S=1, S_z=0 \right\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}}
(\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle
+ \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle) \\
\left |S=1, S_z=-1 \right\rangle &=&
\left| \downarrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle \\
\end{gathered}
\end{gathered}
\]
Pauli 不相容原理（了解即可）
量子比特与密度矩阵
二能级体系
所有二能级混合态都有以下的统一表示：
\[
|\psi\rangle = \cos \frac \theta 2 \left|\uparrow\right\rangle + \sin \frac \theta 2 e^{i\varphi} \left|\downarrow\right\rangle
\]
旋转算符，物理意义即让量子态绕轴 \(\vec n\) 转动 \(\alpha\) 角度
\[
\exp\left(-i \frac{\theta}{2} \hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) I - i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})
\]
-
Pauli 算符 \(\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z \}\)：绕 \(\hat x,~\hat y,~\hat z\) 轴转动 \(180^\circ\)；
-
Hadamard 算符 \(\hat H=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat \sigma_z + \hat \sigma_x)\)
量子比特操控
只需要掌握基本的半波片和四分之一波片操控即可
对于波晶片来说，\(\left| h\right \rangle\) 和 \(\left| v \right\rangle\) 之间会引入 \(\phi\) 的相位差，我们设晶体坐标系和实验室坐标系的对应：
\[
\begin{gathered}
\begin{pmatrix}
\left| h\right\rangle \\ \left| v\right\rangle
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \gamma & \sin \gamma \\
-\sin \gamma & \cos \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\left| H\right\rangle \\ \left| V\right\rangle
\end{pmatrix}, \quad
\hat U = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & e^{i\phi}
\end{pmatrix} \\
\implies
\Gamma^T \hat U \Gamma ^T = \begin{pmatrix}
e^{i\phi}\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma
& (1-e^{i\phi})\sin \gamma\cos \gamma \\
(1-e^{i\phi})\sin\gamma\cos\gamma
& \sin^2\gamma + e^{i\phi}\cos^2\gamma
\end{pmatrix}
\end{gathered}
\]
特别地，半波片时，\(\gamma=0\) 或 \(\gamma=\frac{\pi}{2}\) 时分别对应 \(\sigma_z\) 和 \(\sigma_x\) 操作；四分之一波片时，相当于绕 \(\hat x - \hat z\) 平面内某一方向旋转 \(90^\circ\)：
\[
\begin{aligned}
\hat U_{\text{hwp}} & = \begin{pmatrix}
\cos 2\gamma & \sin 2\gamma \\ \sin 2\gamma & -\cos 2\gamma
\end{pmatrix} = \cos 2\gamma\cdot\sigma_z + \sin 2\gamma\cdot\sigma_x \\
\hat U_{\text{qwp}} & = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1-i\cos2\gamma & -i\sin2\gamma \\ -i\sin2\gamma & 1+i\cos2\gamma
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{\sqrt 2}[I - i(\cos2\gamma\cdot\sigma_z
+ \sin2\gamma\cdot\sigma_x)]
\end{aligned}
\]
任何操控都可一表示为一组 QWP-HWP-QWP 组合（了解即可）
量子不可克隆原理
单个任意未知量子态不可以精确克隆，证明思路如下（构造内积，了解即可）：
\[
\begin{gathered}
\hat{U}(\ket\psi \otimes \ket k) = \ket\psi \otimes \ket\psi,
\quad \hat U(\ket\phi \otimes \ket k) = \ket\phi \otimes \ket\psi \\
\implies \braket{(\bra\phi\otimes\bra\phi)|(\ket\psi\otimes\ket\psi)}
= \braket{(\bra\phi\otimes\ket k)|(\ket\psi\otimes\ket k)} \\
\implies \braket{\phi|\psi}\braket{\phi|\psi}
= \braket{\phi|\psi}\braket{k|k} \\
\implies \braket{\phi|\psi}\braket{\phi|\psi} = \braket{\phi|\psi}
\end{gathered}
\]
量子密码学的基石
密度算符
\[
\rho = \sum_i P_i \ket{\psi_i}\!\bra{\psi_i}
\]
量子信息
量子密钥分发
BB84：
-
Alice 生成一串随机比特；
-
与此同时，她生成编码基：\(+\) 基和 \(\times\) 基；
-
Bob 随机选择基来测量，若选择的基错误，则有 \(\frac{1}{2}\) 的概率正确；
-
Alice 和 Bob 公开各自的编码基和测量基；
-
公开基相同的部分位的测量结果，检查误码率是否满足要求；
-
如果符合要求的话，使用另外一些部分位，并辅助一些错误纠正编码（ECC）等技术得到密钥。
BB84 方法对监听有很强的抵抗力，但前提是确认对方身份；BB84 方法能够被中间人攻击。
BB92：
-
Alice 生成一组随机比特，用非正交态编码；
-
Bob 用经典信道告诉 Alice 哪些位获得了确定测量结果；
-
（类似 BB84）
量子纠缠
EPR 佯谬：Einstein 的 EPR 论文证明波函数不能对物理实在给出完备性描述；
量子纠缠：若将单重态的两个量子分开，Bob 测量后，就可以预测 Alice 粒子的自旋指向；这是完备性的一个反例；
三量子比特存在两类不等价的最大纠缠态：W 态 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{000}+\ket{111})\) 和 GHZ 态 \(\frac{1}{\sqrt{3}}(\ket{100}+\ket{010}+\ket{001})\)